Задача 10151135 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент каждого логарифма строго положителен. Слева под логарифмом стоит корень, поэтому подкоренное выражение должно быть именно положительным, а не просто неотрицательным. Справа нужны x > 0 и (x − 2)² > 0.

ОДЗ

{\begin{matrix} 2 x - x^{2} > 0 \\ x > 0 \\ x^{2} - 4 x + 4 > 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x (2 - x) > 0 \\ x > 0 \\ {(x - 2)}^{2} > 0 \end{matrix}

Пробная точка x = 1: 1 · (2 − 1) = 1 > 0 — знак «+» между корнями, чередование «−, +, −». Корни выколоты (строгое >), поэтому x(2 − x) > 0 даёт 0 < x < 2. Чётная степень (x − 2)² положительна при всех x, кроме x = 2, а условие x > 0 уже входит в найденный промежуток — оба ограничения слабее. ОДЗ: 0 < x < 2.

шаг 2.Приводим все логарифмы к основанию 7

Основания степеней: 343 = 7³ и 49 = 7². Корень — это степень с показателем ½, и её показатель выносится из-под логарифма. Справа показатель чётный, поэтому выносится вместе с модулем; на ОДЗ x < 2, значит |x − 2| = 2 − x.

\log_{343} \sqrt{2 x - x^{2}} = \frac{1}{3} \log_{7} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} =

= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \log_{7} (2 x - x^{2}) = \frac{1}{6} \log_{7} (2 x - x^{2})

\log_{49} (x^{2} - 4 x + 4) = \frac{1}{2} \log_{7} {(x - 2)}^{2} =

= \frac{1}{2} \cdot 2 \log_{7} | x - 2 | = \log_{7} (2 - x)

Формула перехода к новому основанию даёт log₃₄₃A = ⅓·log₇A и log₄₉A = ½·log₇A, потому что log₇343 = 3 и log₇49 = 2. Чётный показатель выносится с модулем: log₇b² = 2log₇|b|.

шаг 3.Выносим общий множитель

Справа сумма логарифмов сворачивается в логарифм произведения — и это ровно тот же логарифм, что стоит слева. Переносим всё влево, выносим его за скобку и умножаем неравенство на 6, знак сохраняется.

\log_{7} x + \log_{7} (2 - x) = \log_{7} (x (2 - x)) = \log_{7} (2 x - x^{2})

\frac{x}{6} \log_{7} (2 x - x^{2}) > \log_{7} (2 x - x^{2})

\frac{x}{6} \log_{7} (2 x - x^{2}) - \log_{7} (2 x - x^{2}) > 0

\log_{7} (2 x - x^{2}) \cdot (\frac{x}{6} - 1) > 0 | \cdot 6

\log_{7} (2 x - x^{2}) \cdot (x - 6) > 0

Свёртка суммы логарифмов законна: на ОДЗ оба аргумента x и 2 − x положительны, лишних решений она не вносит. Умножение обеих частей на 6 > 0 знак неравенства сохраняет.

шаг 4.Разбираем знаки множителей

На ОДЗ 0 < x < 2 второй множитель отрицателен, значит произведение положительно только при отрицательном логарифме. Основание 7 больше единицы, логарифм возрастает — снимаем его, сохраняя знак.

x - 6 < 0 при 0 < x < 2

\log_{7} (2 x - x^{2}) \cdot (x - 6) > 0 ⟺ \log_{7} (2 x - x^{2}) < 0

\log_{7} (2 x - x^{2}) < \log_{7} 1

2 x - x^{2} < 1

2 x - x^{2} - 1 < 0

- (x^{2} - 2 x + 1) < 0

- {(x - 1)}^{2} < 0

{(x - 1)}^{2} > 0 ⟺ x \neq 1

Произведение двух множителей положительно, а один из них отрицателен на всём ОДЗ — значит второй тоже обязан быть отрицательным. 0 = log₇1. Квадрат (x − 1)² неотрицателен при любом x и равен нулю лишь при x = 1, поэтому (x − 1)² > 0 равносильно x ≠ 1.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Само неравенство выбрасывает только одну точку x = 1, а ОДЗ оставляет промежуток от нуля до двойки. Пересечение и даёт ответ.

Точка x = 1 — корень чётной кратности: там 2x − x² = 1 и логарифм равен нулю. Знак произведения через неё не меняется, поэтому на оси стоит петелька, но сама точка выколота строгим неравенством. Границы 0 и 2 выколоты по ОДЗ.