условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это x + 2, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x + 2)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = −2, поэтому (x + 2)² > 0 равносильно x ≠ −2. Условие x > −2 строже: оно уже исключает точку x = −2.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 5
Основание 625 — это 5⁴, поэтому левый логарифм переводим в основание 5 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 5 и log₅625 = 4. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₅(x + 2)² = 2log₅|x + 2|. На ОДЗ x > −2, поэтому |x + 2| = x + 2.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₅(x + 2) за скобку. Затем умножаем неравенство на 4 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₅(x + 2) обращается в ноль при x + 2 = 1, то есть при x = −1. Множитель x² − 8 обращается в ноль при x = ±2√2, причём −2√2 ≈ −2,83 лежит левее ОДЗ x > −2.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неотрицательным. Нули множителей внутри ОДЗ x > −2: x = −1 (здесь log₅(x + 2) = 0) и x = 2√2 — оба закрашены, неравенство нестрогое. Второй нуль множителя x² − 8, точка x = −2√2, в ОДЗ не попадает и на оси не отмечается. Левая граница ОДЗ x = −2 выколота: левее логарифм не определён.
Пробная точка x = −1,5 из интервала (−2; −1): log₅(−1,5 + 2)·((−1,5)² − 8) = log₅0,5·(−5,75). Оба множителя отрицательны, значит произведение положительно — знак «+», условие ≥ 0 выполнено. Оба нуля нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка правого интервала в точке x = 3: log₅5 = 1 > 0 и 3² − 8 = 1 > 0, произведение снова «+».