условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент каждого логарифма должен быть строго положительным. Слева это 6 − x, справа — полный квадрат, который положителен при всех x, кроме одной точки.
Квадрат (x − 6)² неотрицателен при любом x и обращается в ноль лишь при x = 6, поэтому (x − 6)² > 0 равносильно x ≠ 6. Условие x < 6 строже: оно уже исключает точку x = 6.
шаг 2.Приводим оба логарифма к основанию 5
Основание 625 — это 5⁴, поэтому левый логарифм переводим в основание 5 по формуле перехода. Справа под логарифмом стоит полный квадрат: показатель степени выносится вперёд только вместе с модулем, и уже потом модуль раскрывается по ОДЗ.
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь c = 5 и log₅625 = 4. Выносить показатель степени без модуля нельзя: log₅(x − 6)² = 2log₅|x − 6|. На ОДЗ x < 6, поэтому |x − 6| = 6 − x.
шаг 3.Выносим общий множитель
Теперь в обеих частях стоит один и тот же логарифм. Переносим правую часть влево и выносим log₅(6 − x) за скобку. Затем умножаем неравенство на 4 — число положительное, знак сохраняется.
Множитель log₅(6 − x) обращается в ноль при 6 − x = 1, то есть при x = 5. Множитель x² − 8 обращается в ноль при x = ±2√2.
шаг 4.Метод интервалов
Произведение должно быть неположительным. Нули множителей: x = −2√2 и x = 2√2 (из x² − 8), x = 5 (здесь log₅(6 − x) = 0) — все закрашены, неравенство нестрогое. Все три нуля лежат в ОДЗ x < 6. Правая граница ОДЗ x = 6 выколота: правее логарифм не определён.
Пробная точка x = 0 из интервала (−2√2; 2√2): log₅(6 − 0)·(0² − 8) = log₅6·(−8). Здесь log₅6 > 0, значит произведение отрицательно — знак «−», условие ≤ 0 выполнено. Все нули нечётной кратности, поэтому через каждый из них знак меняется. Проверка крайнего правого интервала (5; 6) в точке x = 5,5: log₅0,5 < 0 и 5,5² − 8 > 0, произведение снова «−».