условие
шаг 1.Область допустимых значений
Каждый логарифм определён только при положительном аргументе. Аргументы здесь — само x и его нечётная степень x⁷.
Нечётная степень x⁷ положительна ровно тогда, когда положительно само x, поэтому второе условие ничего нового не добавляет.
шаг 2.Приводим логарифмы к основанию 4
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Формула перехода к новому основанию: log_b a = log_c a ÷ log_c b; здесь b = 4, c = 3. Переписанная формула log₃x = log₃4 · log₄x удобнее: она не даёт дробей.
шаг 3.Выносим общий множитель
Обозначим c = log₃4 — это положительное число, оно больше единицы. Подставляем log₃x = c·log₄x, переносим всё влево: в каждом слагаемом остаётся множитель log₄²x.
Основание 3 больше единицы, а 4 > 3, поэтому c = log₃4 > log₃3 = 1 (приближённо c ≈ 1,26). По теореме Виета для x² − 7cx + 10c² сумма корней должна равняться 7c, произведение — 10c². Подбираем 2c и 5c: 2c + 5c = 7c и 2c · 5c = 10c² — оба сходятся.
шаг 4.Метод интервалов
Нули множителей: x = 1 (там log₄x = 0; множитель стоит в квадрате, кратность чётная → петелька, знак через точку не меняется), x = 2c = 2log₃4 и x = 5c = 5log₃4. Все три закрашены — неравенство нестрогое. Левее нуля выражение не определено: ОДЗ обрывает ось.