Задача 10151120 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{1}{2}} (\log_{3} (x^{2} - 4) - 1) \geq - 1

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент внешнего логарифма положителен, аргумент внутреннего — тоже. Второе условие решаем потенцированием, и оно оказывается сильнее первого.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 4 > 0 \\ \log_{3} (x^{2} - 4) - 1 > 0 \end{matrix}

\log_{3} (x^{2} - 4) > 1

\log_{3} (x^{2} - 4) > \log_{3} 3

x^{2} - 4 > 3

x^{2} > 7

{\begin{matrix} x^{2} > 4 \\ x^{2} > 7 \end{matrix} ⟺ x^{2} > 7

Свободный член записываем логарифмом: 1 = log₃3. Основание 3 > 1 — логарифм возрастает, знак сохраняется. Условие x² > 7 сильнее, чем x² > 4, поэтому первое поглощается: ОДЗ — это |x| > √7.

шаг 2.Снимаем внешний логарифм

Свободный член записываем логарифмом того же основания: −1 = log_{1/2}2. Основание 1/2 лежит между нулём и единицей — логарифм убывает, поэтому при снятии знак неравенства переворачивается.

\log_{\frac{1}{2}} (\log_{3} (x^{2} - 4) - 1) \geq - 1

\log_{\frac{1}{2}} (\log_{3} (x^{2} - 4) - 1) \geq \log_{\frac{1}{2}} 2

\log_{3} (x^{2} - 4) - 1 \leq 2

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: снимаем логарифмы с обеих частей и сравниваем аргументы. (1/2)⁻¹ = 2, поэтому −1 = log_{1/2}2.

шаг 3.Снимаем внутренний логарифм

Переносим единицу вправо и потенцируем ещё раз, теперь по основанию 3 — оно больше единицы, знак сохраняется.

\log_{3} (x^{2} - 4) \leq 3

\log_{3} (x^{2} - 4) \leq \log_{3} 27

x^{2} - 4 \leq 27

x^{2} \leq 31

Здесь 3³ = 27, поэтому 3 = log₃27.

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Соединяем полученное x² ≤ 31 с условием ОДЗ x² > 7 и переписываем двойное неравенство через модуль.

{\begin{matrix} x^{2} \leq 31 \\ x^{2} > 7 \end{matrix}

7 < x^{2} \leq 31

\sqrt{7} < | x | \leq \sqrt{31}

Границы ±√31 закрашены — при них внешний логарифм в точности равен −1 (нестрогое ≥). Границы ±√7 выколоты: там аргумент внешнего логарифма обращается в ноль и выражение теряет смысл.

ответ

x \in [- \sqrt{31}; - \sqrt{7}) \cup (\sqrt{7}; \sqrt{31}]