Задача 10151119 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{\frac{1}{3}} (\log_{2} (x^{2} - 9) - 2) \geq - 1

шаг 1.Область допустимых значений

Аргумент внешнего логарифма положителен, аргумент внутреннего — тоже. Второе условие решаем потенцированием, и оно оказывается сильнее первого.

ОДЗ

{\begin{matrix} x^{2} - 9 > 0 \\ \log_{2} (x^{2} - 9) - 2 > 0 \end{matrix}

\log_{2} (x^{2} - 9) > 2

\log_{2} (x^{2} - 9) > \log_{2} 4

x^{2} - 9 > 4

x^{2} > 13

{\begin{matrix} x^{2} > 9 \\ x^{2} > 13 \end{matrix} ⟺ x^{2} > 13

Свободный член записываем логарифмом: 2 = log₂4. Основание 2 > 1 — логарифм возрастает, знак сохраняется. Условие x² > 13 сильнее, чем x² > 9, поэтому первое поглощается: ОДЗ — это |x| > √13.

шаг 2.Снимаем внешний логарифм

Свободный член записываем логарифмом того же основания: −1 = log_{1/3}3. Основание 1/3 лежит между нулём и единицей — логарифм убывает, поэтому при снятии знак неравенства переворачивается.

\log_{\frac{1}{3}} (\log_{2} (x^{2} - 9) - 2) \geq - 1

\log_{\frac{1}{3}} (\log_{2} (x^{2} - 9) - 2) \geq \log_{\frac{1}{3}} 3

\log_{2} (x^{2} - 9) - 2 \leq 3

Потенцирование — операция, обратная логарифмированию: снимаем логарифмы с обеих частей и сравниваем аргументы. (1/3)⁻¹ = 3, поэтому −1 = log_{1/3}3.

шаг 3.Снимаем внутренний логарифм

Переносим двойку вправо и потенцируем ещё раз, теперь по основанию 2 — оно больше единицы, знак сохраняется.

\log_{2} (x^{2} - 9) \leq 5

\log_{2} (x^{2} - 9) \leq \log_{2} 32

x^{2} - 9 \leq 32

x^{2} \leq 41

Здесь 2⁵ = 32, поэтому 5 = log₂32.

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Соединяем полученное x² ≤ 41 с условием ОДЗ x² > 13 и переписываем двойное неравенство через модуль.

{\begin{matrix} x^{2} \leq 41 \\ x^{2} > 13 \end{matrix}

13 < x^{2} \leq 41

\sqrt{13} < | x | \leq \sqrt{41}

Границы ±√41 закрашены — при них внешний логарифм в точности равен −1 (нестрогое ≥). Границы ±√13 выколоты: там аргумент внешнего логарифма обращается в ноль и выражение теряет смысл.

ответ

x \in [- \sqrt{41}; - \sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}; \sqrt{41}]