шаг 1.Область допустимых значений

Логарифмы определены при положительных аргументах. Условия log₂(x + 1) и log₃(−x) дают x + 1 > 0 и −x > 0; квадраты (x + 1)² и x² положительны автоматически (кроме нулей). Пересечение — интервал −1 < x < 0.

На этом интервале x + 1 ∈ (0; 1) и −x ∈ (0; 1) — обе величины строго между 0 и 1. Это понадобится при оценке знаков логарифмов.

шаг 2.Упрощаем логарифмы

Выносим показатели степеней из аргументов. На ОДЗ x + 1 > 0, поэтому log₂(x + 1)² = 2·log₂(x + 1). Так как x < 0, то |x| = −x, и log_{1/3}x² = −log₃x² = −2·log₃(−x).

Основание 1/3 даёт знак минус: log_{1/3}A = −log₃A. Аргумент x² = (−x)², а −x > 0, поэтому log₃x² = 2·log₃(−x).

шаг 3.Замена и разложение на множители

Обозначим a = log₂(x + 1) и b = log₃(−x). Подставляем упрощённые выражения, раскрываем скобки и группируем — левая часть раскладывается на множители.

Группировка: −4ab − 4a + 4b + 4 = −4(ab + a − b − 1) = −4(a(b + 1) − (b + 1)) = −4(a − 1)(b + 1). Делим на −4 < 0 — знак неравенства переворачивается.

шаг 4.Оцениваем множители на ОДЗ

На ОДЗ x + 1 ∈ (0; 1), поэтому a = log₂(x + 1) < 0, и множитель (a − 1) < 0 всегда. Значит произведение (a − 1)(b + 1) ≥ 0 требует (b + 1) ≤ 0.

шаг 5.Пересечение с ОДЗ

Неравенство −x ≤ 1/3 означает x ≥ −1/3. Пересекаем с ОДЗ −1 < x < 0. Точка x = −1/3 закрашена: там b + 1 = 0, произведение равно нулю и удовлетворяет нестрогому ≥.

Из −x ≤ 1/3 следует x ≥ −1/3. Граница 0 выколота (вне ОДЗ), точка −1/3 включена. Итог: −1/3 ≤ x < 0.