условие
шаг 1.Область допустимых значений
У логарифмов с переменным основанием четыре требования: основание положительно и не равно 1, оба аргумента положительны. Пересекаем все условия.
Самое сильное условие x > 1 поглощает остальные: при x > 1 автоматически x > −1, x ≠ 0 и x > −2.
шаг 2.Знак второго множителя
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Логарифм с основанием больше 1 положителен, когда аргумент больше 1. Здесь x + 2 заведомо больше 1, поэтому множитель строго положителен.
шаг 3.Сводим к первому множителю
Второй множитель положителен, поэтому всё произведение ≤ 0 ровно тогда, когда первый множитель ≤ 0. Аргумент x − 1 сравниваем с 1 (основание x + 1 > 1).
0 = log_{x+1}1 — единицу записываем как логарифм того же основания. Возрастающий логарифм ≤ 0 ⟺ аргумент ≤ 1.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Условие x ≤ 2 пересекаем с ОДЗ x > 1. Точка x = 2 закрашена: там первый логарифм равен нулю, произведение равно нулю и удовлетворяет нестрогому ≤.
Левая граница 1 выколота (вне ОДЗ), правая 2 включена. Итог: 1 < x ≤ 2.