Задача 10151104 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{1 - \sqrt{1 - 4 \log_{8}^{2} x}}{\log_{8} x} < 2

шаг 1.Делаем замену

Переменная входит в неравенство только через log₈x — обозначим этот логарифм буквой t.

t = \log_{8} x

\frac{1 - \sqrt{1 - 4 t^{2}}}{t} < 2

шаг 2.Область допустимых значений

Логарифм определён при x > 0, подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен нулю.

ОДЗ

{\begin{matrix} x > 0 \\ 1 - 4 t^{2} \geq 0 \\ t \neq 0 \end{matrix} ⟺ {\begin{matrix} x > 0 \\ - 0,5 \leq t \leq 0,5 \\ t \neq 0 \end{matrix}

Условие 1 − 4t² ≥ 0 равносильно t² ≤ 0,25, то есть |t| ≤ 0,5.

шаг 3.Случай t < 0

Подкоренное выражение не превосходит единицы, поэтому корень не больше 1 и числитель неотрицателен. Знаменатель отрицателен, значит вся дробь неположительна и заведомо меньше 2.

0 \leq 1 - 4 t^{2} \leq 1 ⟹ 0 \leq \sqrt{1 - 4 t^{2}} \leq 1

1 - \sqrt{1 - 4 t^{2}} \geq 0

\frac{1 - \sqrt{1 - 4 t^{2}}}{t} \leq 0 < 2

- 0,5 \leq t < 0

Неравенство выполнено на всём отрицательном куске ОДЗ — решать здесь нечего.

шаг 4.Случай t > 0

Домножаем обе части на t > 0 — знак неравенства сохраняется. Затем возводим в квадрат и приводим подобные.

1 - \sqrt{1 - 4 t^{2}} < 2 t

1 - 2 t < \sqrt{1 - 4 t^{2}}

{(1 - 2 t)}^{2} < 1 - 4 t^{2}

1 - 4 t + 4 t^{2} < 1 - 4 t^{2}

8 t^{2} - 4 t < 0

4 t (2 t - 1) < 0

При 0 < t ≤ 0,5 левая часть 1 − 2t неотрицательна, правая — арифметический корень: обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат равносильно. Пробная точка t = 1: 4·1·(2·1 − 1) = 4·1·1 = 4 > 0 — знак «+» на правом интервале, чередование «+, −, +». Обе точки выколоты (строгое <). Ограничение ОДЗ t ≤ 0,5 ничего не отсекает: 0,5 уже выколота.

шаг 5.Обратная замена

Объединяем оба случая: t ∈ [−0,5; 0) ∪ (0; 0,5). Подставляем t = log₈x. Основание 8 > 1, логарифм возрастает — знаки неравенств сохраняются.

- 0,5 \leq \log_{8} x < 0 ⟺ 8^{- 0,5} \leq x < 8^{0}

8^{- 0,5} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}

0 < \log_{8} x < 0,5 ⟺ 8^{0} < x < 8^{0,5}

8^{0,5} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

Левая граница √2/4 закрашена (t = −0,5 входит в решение), точка 1 выколота по ОДЗ (там log₈x = 0), правая граница 2√2 выколота строгим неравенством.

ответ

x \in [\frac{\sqrt{2}}{4}; 1) \cup (1; 2 \sqrt{2})