шаг 1.Область допустимых значений

Оба аргумента логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю. Аргумент x⁴ + 6x³ + 9x² = (x² + 3x)² ≥ 0 — обращается в ноль при x = 0 и x = −3, поэтому эти точки исключаем. Второй аргумент и знаменатель раскладываем.

x⁴ + 6x³ + 9x² = x²(x² + 6x + 9) = x²(x + 3)² = (x(x + 3))² = (x² + 3x)². Знаменатель x² + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2).

шаг 2.Сворачиваем числитель

Разность логарифмов: log₂A − log₂B = log₂(A/B). Здесь A = (x² + 3x)², B = 8(x² + 3x) − 16.

шаг 3.Числитель неотрицателен всегда

Числитель ≥ 0 означает, что логарифм ≥ 0, то есть его аргумент ≥ 1. С заменой v = x² + 3x это даёт v² ≥ 8v − 16, то есть полный квадрат (v − 4)² ≥ 0 — верно при любом v. Значит числитель неотрицателен на всей ОДЗ, а равен нулю при v = 4.

Равенство нулю числителя: v = 4, то есть x² + 3x − 4 = 0, откуда x = 1 и x = −4 (по теореме Виета: сумма −3, произведение −4). В этих точках вся дробь равна нулю.

шаг 4.Знак дроби и пересечение с ОДЗ

Числитель ≥ 0 везде, поэтому дробь ≥ 0 там, где знаменатель (x + 5)(x − 2) > 0, плюс точки x = −4 и x = 1, где числитель равен нулю. Знаменатель положителен при x < −5 или x > 2. Точки −4 и 1 добавляем отдельно (обе в ОДЗ).

Знаменатель (x + 5)(x − 2) > 0 даёт x < −5 или x > 2. Изолированные точки x = −4 и x = 1 — нули числителя, в них дробь равна нулю и подходит под ≥ 0. Концы −5 и 2 выколоты (нули знаменателя).