шаг 1.Область допустимых значений

Оба аргумента логарифмов положительны, знаменатель не равен нулю. Первый аргумент x⁴ − 4x³ + 4x² = (x² − 2x)² ≥ 0 — обращается в ноль при x = 0 и x = 2, поэтому эти точки исключаем. Второй аргумент и знаменатель раскладываем.

x⁴ − 4x³ + 4x² = x²(x² − 4x + 4) = x²(x − 2)² = (x(x − 2))² = (x² − 2x)². Знаменатель x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2).

шаг 2.Сворачиваем числитель

Разность логарифмов: log₄A − log₄B = log₄(A/B). Здесь A = (x² − 2x)², B = 6(x² − 2x) − 9.

шаг 3.Числитель неотрицателен всегда

Числитель ≥ 0 означает, что логарифм ≥ 0, то есть его аргумент ≥ 1. С заменой u = x² − 2x это даёт u² ≥ 6u − 9, то есть полный квадрат (u − 3)² ≥ 0 — верно при любом u. Значит числитель неотрицателен на всей ОДЗ, а равен нулю при u = 3.

Равенство нулю числителя: u = 3, то есть x² − 2x − 3 = 0, откуда x = −1 и x = 3 (по теореме Виета: сумма 2, произведение −3). В этих точках вся дробь равна нулю.

шаг 4.Знак дроби и пересечение с ОДЗ

Числитель ≥ 0 везде, поэтому дробь ≥ 0 там, где знаменатель (x − 4)(x + 2) > 0, плюс точки x = −1 и x = 3, где числитель равен нулю. Знаменатель положителен при x < −2 или x > 4. Точки −1 и 3 добавляем отдельно (обе в ОДЗ).

Знаменатель (x − 4)(x + 2) > 0 даёт x < −2 или x > 4. Изолированные точки x = −1 и x = 3 — нули числителя, в них дробь равна нулю и подходит под ≥ 0. Концы −2 и 4 выколоты (нули знаменателя).