условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатели log₂x и log₂x² не равны нулю ⟹ x ≠ 1.
ОДЗ
шаг 2.Замена t = log₂ x
Раскрываем логарифмы через t Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и переносим всё влево., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к одной дроби
Складываем дроби и приводим к общему знаменателю — в числителе получается квадратный трёхчлен.
По теореме Виета для t² − 2t − 15 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −15. Подбираем t₁ = 5 и t₂ = −3, отсюда t² − 2t − 15 = (t − 5)(t + 3).
шаг 4.Метод интервалов и обратная замена
Нули t = −3 и t = 5 закрашены, t = 0 выколота. Возвращаемся к x: основание 2 > 1Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.Пробная точка t = 1: (−4)(4)/1 < 0 ✓. t ≤ −3 ⟺ 0 < x ≤ 1/8; 0 < t ≤ 5 ⟺ 1 < x ≤ 32.