условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатели не равны нулю.
ОДЗ
log₂(2x) = ±1 → x = 1 или x = 1/4; log₂(4x) = 0 → x = 1/4.
шаг 2.Делаем замену
Обозначаем v = log₂x, раскрываем логарифмы через v Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
; первая дробь сокращается., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Сокращение (v + 2) допустимо: v = −2 (x = 1/4) исключено ОДЗ — не теряем корень.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Приводим к общему знаменателю, оставляя минус в числителе — метод интервалов учтёт его пробной точкой.
шаг 4.Метод интервалов в v
Корень числителя v = −1 — закрашен (нестрогое ≥). Точки разрыва v = −2 и v = 0 — выколоты.
Пробная точка v = 1: −2·2/(1·3) < 0 → знак «−». Решение (знак «+»): v < −2 или −1 ≤ v < 0.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем v = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его.log₂x = −2 → x = 1/4; log₂x = −1 → x = 1/2; log₂x = 0 → x = 1.