условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатели не равны нулю: log₃(9x) ≠ 0 и log₃x − 4 ≠ 0.
ОДЗ
t = −2 ⟺ x = 1/9; t = 4 ⟺ x = 81 — эти точки выколоты.
шаг 2.Замена t = log₃ x и упрощение
Раскрываем логарифмы через t Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
; числитель первой дроби раскладывается и сокращается со знаменателем., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Сокращение (t + 2) допустимо: t = −2 (x = 1/9) исключено ОДЗ — не теряем корень.
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим 6 влево и приводим к общему знаменателю — числитель оказывается полным квадратом.
t² − 10t + 25 = t² − 2·t·5 + 5² = (t − 5)² — полный квадрат.
шаг 4.Метод интервалов и обратная замена
(t − 5)² ≥ 0, поэтому знак дроби определяет t < 4; плюс изолированная точка t = 5 (числитель = 0). Возвращаемся к x: основание 3 > 1Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.t < 4 ⟺ 0 < x < 81 (исключая t = −2, x = 1/9); изолированная t = 5 даёт x = 243.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.