условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов числителя положительны; в знаменателе нужен log₄x² (значит x ≠ 0), и сам знаменатель не равен нулю (выкалывает x = ±1/4, см. шаг 2).
ОДЗ
шаг 2.Знаменатель — полный квадрат
Выносим степень под логарифмом: log₄x⁴ = 2log₄x² Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Тогда знаменатель — полный квадрат (log₄x² + 2)²: он положителен и лишь выкалывает x = ±1/4, не влияя на знак дроби., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₄x² = −2 ⟺ x² = 1/16 ⟺ x = ±1/4.
шаг 3.Знак определяет числитель
Знаменатель положителен, поэтому дробь ≥ 0 ⟺ числитель ≥ 0. Сворачиваем разность логарифмов и снимаем логарифм: основание 4 > 1Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.На ОДЗ x + 1 > 0, поэтому неравенство (3 − x)/(x + 1) ≥ 1 умножаем на (x + 1) без смены знака.
шаг 4.Ответ на прямой
Берём x ≤ 1 внутри ОДЗ (−1 < x < 3) и выкалываем x = −1/4, x = 0 и x = 1/4.
Граница −1 — край ОДЗ (выколота); 1 закрашена (нестрогое ≥); точки −1/4, 0, 1/4 выколоты по ОДЗ.