условие
шаг 1.Область допустимых значений
Знаменатель раскрываем по знаку 4x − 3: при x < 3/4 он тождественно равен нулю (дробь не определена), поэтому остаётся x > 3/4. Там же требуем положительности аргументов логарифмов.
ОДЗ
На области x > 3/4: |x| = x и |1 − 4x| = 4x − 1.
шаг 2.Сворачиваем числитель
На области x > 3/4 переходим к основанию 7, выносим чётную степень под логарифмом с модулем и сворачиваем разность логарифмов Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
в один., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Знак определяет числитель
Знаменатель 6 − 8x < 0, поэтому дробь ≤ 0 ⟺ числитель ≥ 0. Снимаем логарифм: основание 7 > 1Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.На области x > 3/4 знаменатель 4x − 1 > 0, поэтому неравенство умножаем на (4x − 1) без смены знака.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с областью
Раскладываем числитель на множители и пересекаем решение x ∈ [−5/4; 1] с областью x > 3/4.
Пробная точка x = 0: 4(0 − 1)(0 + 5/4) = −5 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): −5/4 ≤ x ≤ 1. Граница x = 1 остаётся закрашенной и в ответе: там числитель равен нулю и дробь = 0. Левая граница 3/4 выколота по ОДЗ.