условие
шаг 1.Замена и упрощение
Вводим t = log₈x (нужно x > 0). Знаменатель: 0,125 = 1/8, 64 = 8², поэтому 2·log₆₄(0,125·x) = t − 1 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Справа основание 1/8 даёт log_{1/8}x³ = −3t. Получаем рациональное неравенство в t., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 2.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0. Знаменатель не обращается в нуль: t − 1 ≠ 0, то есть t ≠ 1 (иначе x = 8).
ОДЗ
шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Переносим всё влево, приводим к общему знаменателю t − 1 и сворачиваем числитель в полный квадрат.
(27 − 3t)(t − 1) = −3t² + 30t − 27; числитель 6t² − 2 − (−3t² + 30t − 27) = 9t² − 30t + 25 = (3t − 5)².
шаг 4.Метод интервалов в t
Числитель (3t − 5)² ≥ 0 при любом t. Дробь ≤ 0 в двух случаях: числитель равен нулю (t = 5/3 — изолированная точка, дробь = 0) либо знаменатель отрицателен (t < 1). Точка t = 1 выколота по ОДЗ.
При t > 1 знаменатель положителен, дробь ≥ 0 (равна нулю только в t = 5/3). При t < 1 знаменатель отрицателен — дробь < 0.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x через t = log₈x. Основание 8 > 1, логарифм возрастает Логарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.8^{5/3} = (∛8)⁵ = 2⁵ = 32. Первый случай — интервал (0; 8), второй — одна точка 32.