условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифмы требуют x > 0; знаменатель log₃²(x²/3) − 16 ≠ 0.
ОДЗ
t = 5/2 → x = 3^(5/2) = 9√3; t = −3/2 → x = 3^(−3/2) = √3/9 — нули знаменателя, выколоты.
шаг 2.Замена t = log₃ x
Обозначаем t = log₃x и выражаем числитель и знаменатель через t.
log₃27 = 3, log₃x⁴ = 4t → log₃(27x⁴) = 3 + 4t; знаменатель — разность квадратов (2t − 1)² − 4² = (2t − 5)(2t + 3).
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим −1 влево и приводим к общему знаменателю.
(2t − 5)(2t + 3) = 4t² − 4t − 15; + (8t + 15) = 4t² + 4t = 4t(t + 1); делим обе части на 4 > 0.
шаг 4.Метод интервалов и обратная замена
Нули t = −1 и t = 0 закрашены (нестрогое ≤), точки разрыва t = −3/2 и t = 5/2 выколоты. Возвращаемся к xЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— основание 3 > 1, логарифм возрастает.Пробная точка t = −0,5: (−0,5)(0,5)/((−6)(2)) > 0 ✗. Решение: −3/2 < t ≤ −1 и 0 ≤ t < 5/2, откуда √3/9 < x ≤ 1/3 и 1 ≤ x < 9√3.