Задача 10151053 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{\log_{2} (2 - x) - \log_{2} (x + 1)}{\log_{2}^{2} x^{2} + \log_{2} x^{4} + 1} \geq 0

шаг 1.Область допустимых значений

Аргументы логарифмов положительны; знаменатель не равен нулю.

ОДЗ

2 - x > 0, x + 1 > 0, x^{2} > 0

- 1 < x < 2, x \neq 0

\log_{2} x^{2} \neq - 1 \Rightarrow x \neq \pm \frac{\sqrt{2}}{2}

log₂x² = −1 → x² = 1/2 → x = ±√2/2 — нули знаменателя, выколоты.

шаг 2.Знаменатель — полный квадрат

Так как log₂x⁴ = 2log₂x², знаменатель сворачивается в квадрат и положителен на ОДЗ. Поэтому знак дроби совпадает со знаком числителя.

\log_{2}^{2} x^{2} + 2 \log_{2} x^{2} + 1 = {(\log_{2} x^{2} + 1)}^{2}

{(\log_{2} x^{2} + 1)}^{2} > 0

шаг 3.Числитель ≥ 0

Сворачиваем разность логарифмов в логарифм частного и правую часть 0 записываем как log₂1. Основание 2 > 1, функция возрастает — снимаем логарифм. На ОДЗ x + 1 > 0, поэтому умножаем без смены знака.

\log_{2} \frac{2 - x}{x + 1} \geq 0

\log_{2} \frac{2 - x}{x + 1} \geq \log_{2} 1

\frac{2 - x}{x + 1} \geq 1

2 - x \geq x + 1

x \leq \frac{1}{2}

шаг 4.Пересечение с ОДЗ

Накладываем x ≤ 1/2 на ОДЗ −1 < x < 2 с выколотыми x = 0 и x = ±√2/2. В диапазон попадают только −1 < x ≤ 1/2 с двумя выколами.

√2/2 ≈ 0,71 > 1/2, поэтому правый ноль x = √2/2 в ответ не попадает; остаются выколы −√2/2 и 0 (оба по ОДЗ). Правая граница 1/2 закрашена.

ответ

x \in (- 1; - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0) \cup (0; \frac{1}{2}]

$\frac{\log_{3} (3 - x) - \log_{3} (x + 2)}{\log_{3}^{2} x^{2} + \log_{3} x^{4} + 1} \geq 0$