условие
шаг 1.Область допустимых значений
Для log(x²) нужно x ≠ 0. Аргумент 2x² − 10x + 12,5 = 2(x − 2,5)² положителен при x ≠ 2,5.
ОДЗ
шаг 2.Знаменатель положителен
Квадрат логарифма неотрицателен, прибавляем 1 — знаменатель всегда положителен и на знак дроби не влияет.
шаг 3.Знак определяет числитель
Знаменатель положителен, поэтому дробь ≥ 0 ⟺ числитель ≥ 0. Переходим к натуральному логарифму сменой основанияПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
: множитель при ln(x²) положителен, значит числитель и log(x²) одного знака., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Множитель 1/ln2 − 1/ln3 > 0, значит числитель и log(x²) имеют одинаковый знак; log(x²) ≥ 0 ⟺ x² ≥ 1.
шаг 4.Ответ на прямой
Берём x ≤ −1 и x ≥ 1 внутри ОДЗ и выкалываем x = 2,5. Точки x = 0 и x = ±1 в этих зонах учтены границами.
Границы −1 и 1 закрашены (нестрогое ≥); точка 2,5 выколота по ОДЗ.