условие

45(log22⁡x+6log2⁡x)2+14log22⁡x+6log2⁡x+1≥0

шаг 1.Область допустимых значений

Логарифм определён при x > 0; знаменатель log₂²x + 6log₂x = log₂x(log₂x + 6) не равен нулю.

ОДЗ
x>0
log2⁡x(log2⁡x+6)≠0⇒x≠1,x≠164

log₂x = 0 → x = 1; log₂x = −6 → x = 2⁻⁶ = 1/64.

шаг 2.Сводим к одной дроби

Обозначим u = log₂x и L = u² + 6u. Приводим к общему знаменателю L² и раскладываем числитель.

u=log2⁡x,L=u2+6u=u(u+6)
45+14L+L2L2≥0
(L+5)(L+9)L2≥0
L+5=u2+6u+5=(u+1)(u+5),L+9=(u+3)2
(u+1)(u+5)(u+3)2u2(u+6)2≥0

По теореме Виета для L² + 14L + 45 = 0: сумма корней должна равняться −14, произведение — 45. Подбираем L₁ = −5 и L₂ = −9, отсюда L² + 14L + 45 = (L + 5)(L + 9). Для u² + 6u + 5 = 0 сумма корней −6, произведение 5 → корни −1 и −5, то есть L + 5 = (u + 1)(u + 5). А L + 9 = u² + 6u + 9 = (u + 3)² — полный квадрат. Знаменатель L² = u²(u + 6)².

шаг 3.Метод интервалов в u

Нули числителя u = −5 и u = −1 — закрашены (нестрогое ≥), кратность нечётная. Нуль u = −3 — чётной кратности (квадрат) → петелька, закрашен. Точки разрыва u = −6 и u = 0 — чётной кратности → петельки, выколоты.

++−−++6−5−3−1−0
−∞
+∞
u
Пробная точка u = −2: (−1)(3)(1)/((4)(16)) < 0 ✗. Через каждую петельку знак не меняется. Решение: u < −6 или −6 < u ≤ −5 или u = −3 или −1 ≤ u < 0 или u > 0.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 4.Обратная замена

Подставляем u = log₂x. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
 — снимаем его.
1)log2⁡x<−6
0<x<164
1)−6<log2⁡x≤−5
164<x≤132
2)log2⁡x=−3
x=18
3)−1≤log2⁡x<0
12≤x<1
3)log2⁡x>0
x>1
ответ01
164
132
18
12
−∞
+∞
x

x = 1/8 — изолированная точка (петелька); граница 0 — из ОДЗ; точки 1/64 и 1 выколоты.

ответ

x∈(0;164)∪(164;132]∪{18}∪[12;1)∪(1;+∞)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -