условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание x + 1 положительно и не равно 1; аргументы всех логарифмов положительны. Самое сильное условие — 2x − 5 > 0.
Условия x > −1, x ≠ 0, x > 1, x > 5/2, x > 2 в пересечении дают x > 5/2. Итог: x ∈ (5/2; +∞).
шаг 2.Сравнение дроби с единицей
Числитель и знаменатель имеют общее слагаемое C = log²_{x+1}(x − 1). Переносим 1 влево: разность A/B − 1 = (A − B)/B. Знаменатель B — сумма квадратов, и оба слагаемых не обращаются в ноль одновременно (для этого нужно x = 2 и x = 3 сразу), поэтому B > 0. Значит знак дроби задаёт числитель A − B.
B = log²_{x+1}(x − 1) + log²₅(x − 2) = 0 требует log₅(x − 2) = 0 (x = 3) и log_{x+1}(x − 1) = 0 (x = 2) одновременно — невозможно, значит B > 0. Общее слагаемое C сокращается в A − B.
шаг 3.Разность квадратов и рационализация
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log₅(A) − log₅(B) = log₅(A/B), log₅(A) + log₅(B) = log₅(AB). Знак log₅ P = знак (P − 1): для первого множителя P − 1 = (x − 3)/(x − 2), для второго (2x − 5)(x − 2) − 1 = 2x² − 9x + 9. Корни второго трёхчлена находим через дискриминант: 3 и 3/2, поэтому 2x² − 9x + 9 = 2(x − 3)(x − 3/2). Множитель 2 положителен и на знак не влияет.
шаг 4.Метод интервалов на ОДЗ
На ОДЗ x > 5/2 множители x − 3/2 > 0 и x − 2 > 0, а (x − 3)² ≥ 0. Значит всё выражение положительно всюду, кроме точки x = 3, где оно равно нулю (петелька чётной кратности). Строгое неравенство её исключает.