Задача 10151042 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\log_{0,2}^{2} (5 x^{2}) + \frac{2 \log_{0,2}^{2} x - 9 \log_{0,2} x + 2}{\log_{0,2} (25 x)} \leq 0

Логарифмы требуют x > 0; знаменатель log₀,₂(25x) не равен нулю.

ОДЗ

x > 0

\log_{0,2} (25 x) \neq 0 \Rightarrow 25 x \neq 1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{25}

Основание 0,2 = 1/5, поэтому log₀,₂5 = −1 и log₀,₂25 = −2; выражаем логарифмы через t.

t = \log_{0,2} x

\log_{0,2} (5 x^{2}) = 2 t - 1, \log_{0,2} (25 x) = t - 2

{(2 t - 1)}^{2} + \frac{2 t^{2} - 9 t + 2}{t - 2} \leq 0

Приводим к общему знаменателю t − 2 и раскрываем числитель.

\frac{{(2 t - 1)}^{2} (t - 2) + 2 t^{2} - 9 t + 2}{t - 2} \leq 0

\frac{4 t^{3} - 12 t^{2} + 9 t - 2 + 2 t^{2} - 9 t + 2}{t - 2} \leq 0

\frac{4 t^{3} - 10 t^{2}}{t - 2} \leq 0

\frac{2 t^{2} (2 t - 5)}{t - 2} \leq 0

(2t − 1)²(t − 2) = 4t³ − 12t² + 9t − 2; после сложения 4t³ − 10t² = 2t²(2t − 5).

Нуль t = 0 чётной кратности (множитель 2t²) → петелька. Нуль t = 5/2 закрашен (нестрогое ≤). Точка разрыва t = 2 выколота.

Числитель 2t² ≥ 0; через петельку t = 0 знак не меняется. Пробная точка t = 1: 2·(−3)/(−1) > 0 ✗. Решение: t = 0 или 2 < t ≤ 5/2.

Возвращаемся к x: t = log₀,₂x, значит x = 0,2ᵗ = 5⁻ᵗ. Основание 0,2 < 1, логарифм убывает — направление неравенства переворачивается.

1) \log_{0,2} x = 0

x = 1

2) 2 < \log_{0,2} x \leq \frac{5}{2}

\frac{\sqrt{5}}{125} \leq x < \frac{1}{25}

5^{−5/2} = √5/125; 5^{−2} = 1/25. Изолированная точка t = 0 даёт x = 1.

x \in [\frac{\sqrt{5}}{125}; \frac{1}{25}) \cup {1}