условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатель не равен нулю.
ОДЗ
log₂x = 0 → x = 1; log₂x = 5 → x = 2⁵ = 32 — нули знаменателя, выколоты.
шаг 2.Замена t = log₂ x
Обозначаем t = log₂x, переносим −1 влево и приводим к общему знаменателю.
Числитель: log₂(32x) − 1 = t + 5 − 1 = t + 4; знаменатель t² − 5t = t(t − 5); свёртка t² − 4t + 4 = (t − 2)².
шаг 3.Метод интервалов в t
Корень числителя t = 2 — чётной кратности → петелька, закрашен. Точки разрыва t = 0 и t = 5 — выколоты.
Через петельку t = 2 знак не меняется. Решение: t < 0 или t = 2 или t > 5.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Обратная замена
Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его.x = 4 — изолированная точка (петелька).