условие
шаг 1.Область допустимых значений
Основание x положительно и не равно 1. Дополнительно основания 2x и 2x⁻² не равны 1, откуда x ≠ 1/2 и x ≠ √2.
Аргументы всех логарифмов положительны при x > 0. Основания 2x и 2/x² должны быть ≠ 1: x ≠ 1/2, x ≠ √2. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1/2, x ≠ 1, x ≠ √2.
шаг 2.Замена a = log_x 2
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
log_x(2x⁻¹) = log_x 2 + log_x x⁻¹ = a − 1; аналогично остальные. Деление на 1/((a+1)(a−2)) равно умножению на (a+1)(a−2).
шаг 3.Решаем неравенство относительно a
Группируем множители по разности квадратов и получаем биквадратное неравенство.
a⁴ − 5a² − 36 = (a² − 9)(a² + 4). Множитель a² + 4 > 0 всегда, значит a² < 9, т.е. |a| < 3.
шаг 4.Обратная замена
Возвращаемся к x. Через m = log₂ x имеем a = 1/m, поэтому условие |a| < 3 равносильно |m| > 1/3. Затем пересекаем с ОДЗ.
|m| > 1/3 означает m > 1/3 или m < −1/3, т.е. x > ∛2 или 0 < x < 1/∛2. Пересекаем с ОДЗ: убираем x = 1/2 (внутри (0; 1/∛2)) и x = √2 (внутри (∛2; +∞)); точка x = 1 и так вне решения.