Задача 10151038 — ЕГЭ №16 | Мария Беличенко

условие

\frac{8}{\log_{2} (16 x)} \geq \frac{3}{\log_{2} (8 x)} + \frac{1}{\log_{2} (2 x)}

Логарифмы требуют x > 0; знаменатели обращаются в ноль, когда аргументы логарифмов равны 1.

ОДЗ

x > 0

16 x \neq 1, 8 x \neq 1, 2 x \neq 1

x \neq \frac{1}{16}, x \neq \frac{1}{8}, x \neq \frac{1}{2}

Обозначаем t = log₂x и выражаем каждый логарифм через t — получаем сумму дробей относительно t.

t = \log_{2} x

\log_{2} 16 x = t + 4, \log_{2} 8 x = t + 3, \log_{2} 2 x = t + 1

\frac{8}{t + 4} \geq \frac{3}{t + 3} + \frac{1}{t + 1}

Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю (t+1)(t+3)(t+4).

\frac{8}{t + 4} - \frac{3}{t + 3} - \frac{1}{t + 1} \geq 0

\frac{8 (t + 3) (t + 1) - 3 (t + 4) (t + 1) - (t + 4) (t + 3)}{(t + 1) (t + 3) (t + 4)} \geq 0

\frac{4 t^{2} + 10 t}{(t + 1) (t + 3) (t + 4)} \geq 0

\frac{2 t (2 t + 5)}{(t + 1) (t + 3) (t + 4)} \geq 0

После раскрытия скобок числитель = 4t² + 10t = 2t(2t + 5).

Нули числителя t = −5/2 и t = 0 закрашены (нестрогое ≥), точки разрыва t = −4, −3, −1 выколоты.

Пробная точка t = 1: 1·7/(2·4·5) > 0 ✓. Решение: −4 < t < −3, −5/2 ≤ t < −1, t ≥ 0.

Возвращаемся к x по t = log₂x: основание 2 > 1, логарифм возрастает, направление неравенства сохраняется.

−4 < t < −3 ⟺ 1/16 < x < 1/8; −5/2 ≤ t < −1 ⟺ √2/8 ≤ x < 1/2 (√2/8 = 2 в степени −5/2); t ≥ 0 ⟺ x ≥ 1.

x \in (\frac{1}{16}; \frac{1}{8}) \cup [\frac{\sqrt{2}}{8}; \frac{1}{2}) \cup [1; + \infty)