условие

log2x−12⁡(9x2−12x+4)−10log2x−1⁡(3x−2)+183log2x−1⁡(6x2−7x+2)−2≤2

шаг 1.Область допустимых значений

Основание 2x − 1 положительно и не равно 1; аргументы всех логарифмов положительны.

ОДЗ
{2x−1>0,2x−1≠13x−2>06x2−7x+2=(2x−1)(3x−2)>0
ОДЗ1
23
−∞
+∞
x

Из 2x − 1 > 0 и 3x − 2 > 0 берём x > 2/3; условие 2x − 1 ≠ 1 даёт x ≠ 1. Итог: x ∈ (2/3; 1) ∪ (1; +∞).

шаг 2.Разложение и замена

Замечаем полные множители: 9x² − 12x + 4 = (3x − 2)², а 6x² − 7x + 2 = (2x − 1)(3x − 2). Тогда все логарифмы выражаются через одну величину u = log_{2x−1}(3x − 2) Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
, и неравенство становится дробно-рациональным.
9x2−12x+4=(3x−2)2
6x2−7x+2=(2x−1)(3x−2)
u=log2x−1⁡(3x−2)
log2x−1⁡(3x−2)2=2u
log2x−1⁡((2x−1)(3x−2))=1+u
(2u)2−10u+183(1+u)−2≤2
4u2−10u+183u+1≤2

Оба разложения проверяются раскрытием скобок: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4 и (2x − 1)(3x − 2) = 6x² − 7x + 2 — здесь множители не подбираются, а угадываются по основанию и аргументу логарифма. На ОДЗ 3x − 2 > 0, поэтому log_{2x−1}(3x − 2)² = 2·log_{2x−1}(3x − 2) = 2u без модуля. Так как log_b b = 1, знаменатель 3·log_{2x−1}((2x−1)(3x−2)) − 2 = 3(1 + u) − 2 = 3u + 1.

шаг 3.Решаем неравенство относительно u

Переносим 2 влево и приводим к общему знаменателю; числитель сворачивается в полный квадрат.

4u2−10u+183u+1−2≤0
4u2−10u+18−2(3u+1)3u+1≤0
4u2−16u+163u+1≤0
4(u−2)23u+1≤0
−++по u2
−13
−∞
+∞
u
Числитель 4(u − 2)² ≥ 0, поэтому дробь ≤ 0 либо когда числитель ноль (u = 2, знаменатель 7 ≠ 0), либо когда знаменатель отрицателен: 3u + 1 < 0, т.е. u < −1/3. Итог: u < −1/3 или u = 2.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

шаг 4.Обратная замена

Случай u < −1/3 невозможен: на ОДЗ основание 2x − 1 и аргумент 3x − 2 лежат по одну сторону от 1, поэтому по рационализации Метод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
loga⁡f−loga⁡g(a−1)(f−g)a>0,a≠1,f,g>0af−ag(a−1)(f−g)a>0,a≠1|f|−|g|(f−g)(f+g)любыеf−gf−gf,g≥0
Множитель (a−1) задаёт направление: при a>1 он положителен (знак как у f−g), при 0<a<1 — отрицателен, знак переворачивается.
 знак u = log_{2x−1}(3x − 2) совпадает со знаком (2x − 2)(3x − 3) = 6(x − 1)² > 0. Значит u > 0 всюду на ОДЗ. Остаётся u = 2.
log2x−1⁡(3x−2)>0⇔(2x−2)(3x−3)>0
(2x−2)(3x−3)=6(x−1)2>0(x≠1)
log2x−1⁡(3x−2)=2⇒3x−2=(2x−1)2
4x2−7x+3=0
x=7±18=1=34
ответ1
23
34
−∞
+∞
x

Из 3x − 2 = (2x − 1)²: 4x² − 7x + 3 = 0, x = (7 ± √1)/8 = 1 и 3/4. Корень x = 1 исключён (основание ≠ 1), x = 3/4 лежит в ОДЗ (2/3; 1). Случай u < −1/3 решений не даёт.

ответ

x=34
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -