условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны; знаменатель не равен нулю.
ОДЗ
log₅(x − 5) = 0 → x − 5 = 1 → x = 6.
шаг 2.Сводим к одной дроби
Переносим единицу влевоПреобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
и сворачиваем разность логарифмов в числителе., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
1 = log₅(x − 5)/log₅(x − 5), поэтому в числителе получается разность log₅(5x − 27) − log₅(x − 5).
шаг 3.Метод интервалов в x
Приравниваем к нулю числитель (логарифм — при аргументе 1) и знаменатель; отмечаем нуль числителя (закрашен) и точку разрыва x = 6, граница ОДЗ x = 27/5 тоже выколота.
На (27/5; 11/2): числитель < 0 и знаменатель < 0 → «+» ✓. На (11/2; 6): «−» ✗. На (6; +∞): «+» ✓.