условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатели не равны нулю.
ОДЗ
шаг 2.Сводим к одной дроби
Обозначим t = log₂x, затем u = t − 5: второй знаменатель сворачивается в полный квадрат (t − 5)².
log₂(32x¹⁰) = log₂32 + 10log₂x = 5 + 10t; тогда t² − 10t + 25 = (t − 5)². Первый знаменатель log₂x − 5 = t − 5 = u. По теореме Виета для u² + 10u + 16 = 0: сумма корней должна равняться −10, произведение — 16. Подбираем u₁ = −2 и u₂ = −8, отсюда u² + 10u + 16 = (u + 2)(u + 8).
шаг 3.Метод интервалов в u
Множитель u² > 0 (кроме u = 0 — разрыв), поэтому знак задаёт (u + 2)(u + 8). Корни u = −8 и u = −2 — закрашены, точка разрыва u = 0 — выколота.
Решение: u ≤ −8 или u ≥ −2 (u ≠ 0).
шаг 4.Обратная замена
u = log₂x − 5. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
.u ≤ −8 → log₂x ≤ −3 → x ≤ 1/8; u ≥ −2 → log₂x ≥ 3 → x ≥ 8 (x ≠ 32).