условие
шаг 1.Область допустимых значений
Логарифм определён при x > 0; знаменатель не равен нулю.
ОДЗ
log₄x = 3 → x = 4³ = 64; log₄x = −3 → x = 4⁻³ = 1/64.
шаг 2.Делаем замену
Обозначим u = log₄x. Знаменатель — разность квадратов.
шаг 3.Метод интервалов в u
Корень числителя u = −2 — чётной кратности (квадрат) → петелька, знак через точку не меняется; закрашен (нестрогое ≥) — изолированная точка. Точки разрыва u = −3 и u = 3 — выколоты.
Пробная точка u = 0: 4/(−9) < 0 → знак «−». Через петельку u = −2 знак не меняется. Решение: u < −3 или u = −2 или u > 3.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Обратная замена
Подставляем u = log₄x. Основание 4 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его. Числа −3, −2, 3 записываем как log₄ степеней четвёрки.x = 1/16 — изолированное решение (петелька). Нижняя граница 0 случая 1 — из ОДЗ x > 0.