условие
шаг 1.Приводим к логарифму по основанию B
Показатель степени в знаменателе выносим множителем, а отношение десятичных логарифмов сворачиваем в логарифм по основанию B Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Правая часть тоже сворачивается в число — она равна одной трети. Общий множитель 1/3 сокращается, и остаётся сравнить логарифм с единицей., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Смена основания: lg A / lg B = log_B A. Справа log_{5³}7 = (log₅7)/3, поэтому отношение равно 1/3.
шаг 2.Метод рационализации
Единицу записываем как log_B B — неравенство становится разностью логарифмов. Основание B переменное, поэтому знак задаём методом рационализации Метод рационализации
Если нужен только ЗНАК выражения (например, для метода интервалов), не решаем его напрямую — определяем знак по таблице: знак слева совпадает со знаком справа (на ОДЗ), а правое выражение проще. Третий столбец — ОДЗ.
Множитель задаёт направление: при он положителен (знак как у ), при — отрицателен, знак переворачивается.
: знак log_B A − log_B B совпадает со знаком (B − 1)(A − B). Замена сохраняет знак только на ОДЗ, поэтому неравенство сразу переходит в равносильную систему: рационализированное неравенство ① и ограничения ② и ③ на аргумент и основание.Условие ② — аргумент логарифма, ③ — основание: оно положительно и не равно единице (иначе знаменатель исходной дроби обращается в ноль).
шаг 3.Неравенство ①
Вычисляем оба множителя ① и раскладываем их на линейные скобки вынесением общего множителя y.
Множитель y² — чётной кратности: в нуле петелька, знак через точку не меняется.
Пробная точка y = 1: 1·(4 − 5)(1 + 3) = −4 < 0 — знак «−» между −3 и 5/4.
Все корни закрашены (нестрогое ≤).
Решение ①: [−3; 5/4].Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.
шаг 4.Ограничения ② и ③
Условие ② выполнено всегда: у трёхчлена 5y² − 2y + 1 дискриминант отрицателен, а ветви направлены вверх. Условие ③ даёт два ограничения: положительность основания и его отличие от единицы.
Ось рисуем только для ③ — условие ② верно на всей прямой и ничего не отсекает. Решение ③: (−∞; 0) ∪ (0; 1/4) ∪ (1; 5/4) ∪ (5/4; +∞).
шаг 5.Пересечение
Сводим оси ① и ③ в одну. Промежуток (1/4; 1) выпадает — там основание меньше нуля не бывает, но трёхчлен B отрицателен; точки 0 и 5/4 выколоты (там B = 1).
На границе y = −3 аргумент и основание равны (A = B = 52), поэтому log_B A = 1 — равенство входит в ответ. Точки 0 и 5/4 выколоты условием ③, промежуток (1/4; 1) им же отсечён.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
≥ 0
< 0
≤ 0
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.