условие
шаг 1.Область допустимых значений
Переменная входит только через |x| и x², аргументы логарифмов |x| и x²/2 положительны при x ≠ 0.
ОДЗ
шаг 2.Упрощаем обе части
Слева выражаем log₂(x²/2) через |x|, справа считаем ½·log₂4 = 1 и переводим log₄|x| в основание 2Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Обозначаем t = log₂|x|., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Сводим к квадратному неравенству
Получаем (t − 1)² ≥ (1 + t/2)². Правую часть записываем как (t + 2)²/4, умножаем неравенство на 4 и переносим всё влево.
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни t = 0 и t = 4 — закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней.
Пробная точка t = 1: 3·(1 − 4) = −9 < 0 → знак «−». Решение: t ≤ 0 или t ≥ 4.
шаг 5.Обратная замена
Подставляем t = log₂|x|. Основание 2 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем его. 0 = log₂1, 4 = log₂16.Точка x = 0 выколота по ОДЗ. Ответ симметричен относительно нуля — выражение чётное (x входит только как |x| и x²).