условие
шаг 1.Область допустимых значений
Квадратные трёхчлены 7x² + 6 и x² + x + 1 положительны при любом x (у x² + x + 1 дискриминант 1 − 4 = −3 < 0), поэтому аргументы левых логарифмов ограничений не дают. Остаётся аргумент правого логарифма: складываем его в одну дробь и решаем методом интервалов.
Нули дроби: числитель 7x + 24 = 0 даёт x = −24/7, знаменатель x + 4 = 0 даёт точку разрыва x = −4 (обе выколоты). ОДЗ: x < −4 или x > −24/7.
шаг 2.Сворачиваем в одно неравенство
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Приводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю. В числителе раскрываем оба произведения и приводим подобные.
Знаменатель x² + x + 1 > 0 при любом x — на него делим без изменения знака. Отрицательный множитель −1 не выносим: на нули дроби он не влияет, а его знак учитываем на оси.
шаг 4.Метод интервалов
Корни числителя: −25/3, 0 — закрашены (нестрогое ≥). Единственная точка разрыва — нуль множителя x + 4, то есть x = −4 (выколота). Пробная точка x = 1 даёт отрицательное значение, дальше знаки чередуются.
Пробная точка x = 1: −1·(3 + 25)/(1 + 4) = −28/5 < 0 — знак «−». Знаки чередуются через каждую из точек −25/3, −4, 0. Решение ≥ 0: x ≤ −25/3 или −4 < x ≤ 0.
шаг 5.Пересечение с ОДЗ
Решение неравенства x ≤ −25/3 или −4 < x ≤ 0 пересекаем с ОДЗ x < −4 или x > −24/7. Луч x ≤ −25/3 целиком левее −4 — входит полностью. Из промежутка −4 < x ≤ 0 проходит только часть x > −24/7.