условие

log15⁡(25−25x)<log15⁡(x2−4x+3)+log15⁡(x+7)

шаг 1.Область допустимых значений

Все три аргумента логарифмов положительны. Каждое условие решаем на своей оси и пересекаем.

ОДЗ
{25−25x>0x2−4x+3>0x+7>0⟺{x<1(x−1)(x−3)>0x>−7
I условие1
−∞
+∞
x
+−+II условие13
−∞
+∞
x
III условие7−
−∞
+∞
x
ОДЗ7−1
−∞
+∞
x

По теореме Виета для x² − 4x + 3 = 0: сумма корней должна равняться 4, произведение — 3. Подбираем 1 и 3, отсюда x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 3) = 3 > 0 — знак «+» левее 1, чередование «+, −, +». Ветка x > 3 несовместна с x < 1, остаётся −7 < x < 1.

шаг 2.Свёртка и снятие логарифма

Сумму логарифмов справа сворачиваем в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Основание 1/5 меньше единицы — логарифм убываетЛогарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
, поэтому при снятии логарифма знак неравенства переворачивается.
log15⁡(25−25x)<log15⁡((x2−4x+3)(x+7))
25−25x>(x2−4x+3)(x+7)

Знак «<» сменился на «>» именно из-за убывающего основания 1/5, а не из-за умножения на −1: слагаемые переехали без изменений.

шаг 3.Сводим к кубическому неравенству

Раскрываем скобки, переносим всё в одну часть и раскладываем на множители — второй множитель оказывается полным квадратом.

25−25x>x3+3x2−25x+21
x3+3x2−4<0
(x−1)(x+2)2<0

После переноса получается 0 > x³ + 3x² − 4; знак «<» появился не от умножения на −1, а от перестановки сторон местами. Корень x = 1 подбираем среди делителей свободного члена: 1 + 3 − 4 = 0, значит (x − 1) — множитель. Деление даёт x³ + 3x² − 4 = (x − 1)(x² + 4x + 4), а x² + 4x + 4 = x² + 2·x·2 + 2² = (x + 2)² — полный квадрат.

шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Корень x = 1 выколот (неравенство строгое). Корень x = −2 чётной кратности → петелька, тоже выколот, знак через него не меняется. Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.

−−+неравенство2−1
−∞
+∞
x
ОДЗ7−1
−∞
+∞
x
пересечение7−2−1
−∞
+∞
x
Пробная точка x = 0 на интервале (−2; 1): (0 − 1)(0 + 2)² = −4 < 0 — знак «−», через петельку в x = −2 он не меняется, значит слева от −2 тоже «−». ОДЗ обрезает решение слева в точке −7; выколотая точка −2 остаётся дырой внутри ответа.Петелька при чётной кратности
Возникает, когда корень выражения повторяется чётное количество раз.
Внутри петельки знак НЕ ставится.
Петелька показывает 0 функции и может быть только закрашенной или выколотой. Знака внутри петли быть не может, т.к. у нуля знака нет.
> 0
+ +
(−∞;a)∪(a;+∞)
≥ 0
+ +
(−∞;+∞)
< 0
+ +
⌀
≤ 0
+ +
{a}
Флаг или петелька означают «через эту точку знак выражения не меняется» — слева и справа от петли знаки одинаковые.
При знаках ≤/≥ значение петельки может быть выколото по ОДЗ.

ответ

x∈(−7;−2)∪(−2;1)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -