условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны. При x > −3/2 знаменатель x + 3 > 0, поэтому знак третьего аргумента задаёт числитель x² − x − 1,5.
шаг 2.Сводим к одному логарифму
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
log₀,₅t = −log₂t, поэтому правое слагаемое −log₂((x²−x−1,5)/(x+3)) переносим влево как +, а −log₂((2x+3)/2) уходит вправо как +log₂((2x+3)/2).
шаг 3.Метод интервалов в x
Умножаем на 2 и приводим подобные. Корни x = −1 и x = 3 — закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней.
По теореме Виета для x² − 2x − 3 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −3. Подбираем x₁ = 3 и x₂ = −1, отсюда x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). Пробная точка x = 0: (0 − 3)(0 + 1) = −3 < 0 — знак «−» между корнями, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≥): x ≤ −1 или x ≥ 3.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Пересекаем с ОДЗ. Из луча x ≤ −1 в левую ветвь ОДЗ (−3/2; (1−√7)/2) попадает только −3/2 < x ≤ −1 (часть x ≤ −3/2 вне ОДЗ). Луч x ≥ 3 целиком в правой ветви ОДЗ (3 > (1+√7)/2). Иррациональные границы ОДЗ в ответ не попадают.
Левая граница −3/2 — из ОДЗ, выколота по ОДЗ; x ≤ −1 даёт −3/2 < x ≤ −1; x ≥ 3 проходит целиком.