условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны; пересечение условий даёт x > 0.
ОДЗ
шаг 2.Смена основания и замена
Справа переходим к основанию 3: log₂(x/9)/log₂3 = log₃(x/9) Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Вводим замену t = log₃x и выражаем через неё все логарифмы: log₃(x²/81) = 2t − 4, log_{1/3}(x/9) = 2 − t, log₃(x/9) = t − 2., — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
шаг 3.Упрощаем неравенство в t
Замечаем, что 2t − 4 = 2(t − 2), а 2 − t = −(t − 2), поэтому произведение слева равно −2(t − 2)². Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель.
(2t − 4)(2 − t) = 2(t − 2)·(−(t − 2)) = −2(t − 2)². Вынесли общий множитель (t − 2).
шаг 4.Метод интервалов в t
Корни (t − 2)(2t − 1) = 0 — это t = 1/2 и t = 2, закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней: t ≤ 1/2 или t ≥ 2.
шаг 5.Обратная замена
Возвращаемся к x через t = log₃x. Основание 3 > 1, логарифм возрастаетЛогарифм и знак неравенства
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
. С учётом ОДЗ x > 0.3^{1/2} = √3 ≈ 1,73; 3² = 9. Выноска от нуля — ОДЗ x > 0: левая ветвь log₃x ≤ 1/2 превращается в 0 < x ≤ √3, точка 0 выколота по ОДЗ.