условие

log13⁡(27−2x2−3x)≥2log19⁡(24−x2−x)

шаг 1.Область допустимых значений

Оба аргумента логарифмов положительны. Второе условие задаёт более широкий интервал, поэтому ОДЗ определяет первое.

ОДЗ
27−2x2−3x>0
2x2+3x−27=0,D=225
x=−3±2254=3=−92
−92<x<3
24−x2−x>0
x2+x−24=0,D=97
x=−1±972
−1−972<x<−1+972
−+−I условие3
−92
−∞
+∞
x
−+−II условие
−1−√972
−1+√972
−∞
+∞
x
ОДЗ3
−92
−∞
+∞
x

Ветви обоих трёхчленов направлены вниз (коэффициент при x² отрицателен), поэтому каждый положителен между своими корнями. Корни второго ≈ −5,4 и 4,4 — интервал шире первого.

шаг 2.Приводим к основанию 1/3 и снимаем логарифм

Правый логарифм приводим к основанию 1/3: так как 1/9 = (1/3)², коэффициент 2 сокращается и остаётся логарифм по основанию 1/3 Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм loga⁡b требует a>0,a≠1,b>0.
Степень выносим с модулем
Тождество loga⁡bn=nloga⁡b верно только при b>0. При чётном показателе b2k определено и для b<0, поэтому обязателен модуль:
loga⁡b2k=2kloga⁡|b|
У нас 16log3⁡(x+1)6=log3⁡|x+1|. Без модуля потеряли бы ветку x<−1 и корень x=−4.
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход cloga⁡b=loga⁡bc при чётном c расширяет область: 2loga⁡x=loga⁡x2 — слева x>0, справа x≠0. Появляются посторонние корни x<0; держим исходное b>0 или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
loga⁡f+loga⁡g=loga⁡(fg)
loga⁡f−loga⁡g=loga⁡fg
ОДЗ уже требует f>0 и g>0 — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
loga⁡(fg) определён при fg>0, loga⁡fg — при fg>0 (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на loga⁡f±loga⁡g, силой требуем f>0,g>0 и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
loga⁡(fg)=loga⁡|f|+loga⁡|g|
Смена основания — безопасно
loga⁡b=logc⁡blogc⁡a и loga⁡b=1logb⁡a — область не меняется (нужно c>0,c≠1, для второй b≠1).
Основное тождество
aloga⁡b=b(b>0), loga⁡ak=k — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма (c=loga⁡ac).
. Основание 1/3 меньше единицы — логарифм убывает Логарифм и знак неравенства
Функция y=loga⁡x монотонна при x>0. При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: loga⁡A≶loga⁡B⟺A≶B (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, loga⁡A≤loga⁡B⟺A≥B.
Число c превращаем в логарифм того же основания: c=loga⁡ac — тогда сравниваем аргументы (не забывая A>0).
, поэтому при снятии логарифма знак неравенства переворачивается. Затем переносим все слагаемые в правую часть, где коэффициент при x² положителен.
2log19⁡(24−x2−x)=2log(13)2⁡(24−x2−x)=
=2⋅12log13⁡(24−x2−x)=log13⁡(24−x2−x)
log13⁡(27−2x2−3x)≥log13⁡(24−x2−x)
27−2x2−3x≤24−x2−x
x2+2x−3≥0
(x+3)(x−1)≥0

Основание логарифма 1/9 записываем как степень (1/3)². Знак стал ≥ не из-за умножения на −1, а из-за переноса всех слагаемых в правую часть (там коэффициент при x² положителен): A ≤ B ⟺ 0 ≤ B − A. Корни x² + 2x − 3 по теореме Виета: сумма −2, произведение −3 → x = −3 и x = 1.

шаг 3.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ

Метод интервалов на (x + 3)(x − 1) ≥ 0: корни −3 и 1 закрашены (нестрогое ≥), парабола ветвями вверх положительна вне корней. Решение x ≤ −3 или x ≥ 1 пересекаем с ОДЗ (−9/2; 3): концы −9/2 и 3 выколоты (ОДЗ строгое), поэтому в ответ входят полуинтервалы (−9/2; −3] и [1; 3).

+−+неравенство3−1
−∞
+∞
x
ОДЗ3
−92
−∞
+∞
x
ответ3−13
−92
−∞
+∞
x

Пробная точка x = 0: (0 + 3)(0 − 1) = −3 < 0 — знак «−» между корнями, значит вне корней знак «+». Границы −3 и 1 лежат внутри ОДЗ → закрашены; концы −9/2 и 3 задаёт ОДЗ (строгое) → выколоты.

ответ

x∈(−92;−3]∪[1;3)
репетитор по
математике
Мария Беличенко
• обо мне
• принципы работы
• учебный процесс
• оплата
• контакты		• Беличеночная
• блог
• ЕГЭ
• оферта
belichenko.org
2019 -