условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент любого логарифма должен быть положителен; (x − 2)⁸ положительно при x ≠ 2.
ОДЗ
Чётная степень (x − 2)⁸ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x − 2 = 0, поэтому (x − 2)⁸ > 0 равносильно x ≠ 2.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Множитель ⅛ вносим в показатель степени — первый логарифм превращается в логарифм модуля Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения, а правую часть записываем логарифмом по основанию 2. Основание больше единицы, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм.3 = log₂8, поскольку 8 = 2³.
шаг 3.Раскрываем модуль
Разбираем два случая по знаку x − 2 Раскрытие модуля по знаку
Определение
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
В неравенстве
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
В нашей задаче
Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
. В первом (x > 2) раскрываем модуль как x − 2, во втором (x < 2) — как 2 − x; каждый даёт квадратное неравенство. Во втором случае условие x < 2 пересекаем с ОДЗ x > −4 из шага 1 — отсюда двойное неравенство −4 < x < 2 (левая граница −4 пришла из ОДЗ).Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
Корни x² + 2x − 16: D = 68, x = −1 ± √17. Левый корень −1 − √17 < −4 не входит в ОДЗ.
шаг 4.Ответ на прямой
Объединяем отрезок [−2; 0] из случая 2 и луч от √17 − 1 из случая 1. Обе границы закрашены — неравенство нестрогое (≥), в этих точках достигается равенство 8 = 8.
Проверка x = 1 (между 0 и √17 − 1): |1 − 2|·5 = 5 < 8 — промежуток не входит.