условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргумент любого логарифма должен быть положителен; (x + 1)⁶ положительно при x ≠ −1.
ОДЗ
Чётная степень (x + 1)⁶ неотрицательна при любом x и обращается в ноль лишь при x + 1 = 0, поэтому (x + 1)⁶ > 0 равносильно x ≠ −1.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Множитель ⅙ вносим в показатель степени — второй логарифм превращается в логарифм модуля Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Сумму логарифмов сворачиваем в логарифм произведения, а правую часть записываем логарифмом по основанию 3. Основание больше единицы, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм.2 = log₃9, поскольку 9 = 3².
шаг 3.Раскрываем модуль
Разбираем два случая по знаку x + 1 Раскрытие модуля по знаку
Определение
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
Модуль раскрывается по знаку подмодульного выражения:
В неравенстве
Нуль подмодульного выражения делит область на промежутки. На каждом заменяем модуль по его знаку, решаем полученное неравенство, а ответы объединяем.
В нашей задаче
Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
. В первом (x > −1) получаем квадратное неравенство, во втором — полный квадрат с единственным корнем. Во втором случае условие x < −1 пересекаем с ОДЗ x > −7 из шага 1 — отсюда двойное неравенство −7 < x < −1 (левая граница −7 пришла из ОДЗ).Нуль — точка , она делит ОДЗ на два случая:
· при :
· при :
Корни x² + 8x − 2: D = 72, x = −4 ± 3√2. Левый корень −4 − 3√2 < −7 не входит в ОДЗ.
шаг 4.Ответ на прямой
Случай 2 даёт изолированную точку x = −4: в ней левая часть исходного неравенства равна 2, как и правая, поэтому знак «≥» выполняется как равенство 2 = 2. Случай 1 — луч от 3√2 − 4. Между этой точкой и лучом неравенство не выполнено.
Проверка x = 0: log₃7 + log₃1 = log₃7 ≈ 1,77 < 2 — точка −4 действительно изолирована.