условие
шаг 1.Область допустимых значений
Оба аргумента логарифмов положительны. Решаем каждое условие на своей оси; пересечение даёт x > 2.
Разложение x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1) по теореме Виета: сумма корней 1, произведение −2. Пересечение x > 2 и (x < −1 или x > 2) даёт x > 2.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Сокращение (x − 2) допустимо: x = 2 уже исключено ОДЗ — корень не теряем. Единица равна логарифму основания: log_{1/2}(1/2) = 1, так как (1/2)¹ = 1/2.
шаг 3.Метод интервалов
Переносим 1/2 влево и приводим к общему знаменателю; получаем дробь, к которой применяем метод интервалов.
Приводим к общему знаменателю 2(x + 1); множитель 2 положителен, на знак не влияет — оставляем. Пробная точка x = 0: (0 − 5)/(2·(0 + 1)) = −5/2 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Корень числителя x = 5 закрашен (нестрогое ≤), точка разрыва x = −1 выколота. Решение: −1 < x ≤ 5.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение неравенства −1 < x ≤ 5 пересекаем с ОДЗ x > 2. Общая часть — интервал 2 < x ≤ 5.
Левый конец решения (−1) отсекается ОДЗ — остаётся правее 2. Точка x = 5 закрашена, x = 2 выколота по ОДЗ.