условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы всех трёх логарифмов положительны. Раскладываем квадратный трёхчлен на множители и решаем каждое условие на своей оси.
По теореме Виета для x² − 4x + 3 = 0: сумма корней должна равняться 4, произведение — 3. Подбираем x₁ = 1 и x₂ = 3, отсюда x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3). Пересечение x < 1, (x < 1 или x > 3) и x > −2 даёт −2 < x < 1: ветка x > 3 отсекается первым условием.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Сводим к кубическому неравенству
Раскрываем скобки, переносим всё влево и раскладываем на множители.
Корень x = 1 подбираем среди делителей свободного члена: 1 − 2 − 1 + 2 = 0, значит (x − 1) — множитель. Деление даёт x³ − 2x² − x + 2 = (x − 1)(x² − x − 2). По теореме Виета для x² − x − 2 = 0: сумма корней должна равняться 1, произведение — −2. Подбираем 2 и −1, отсюда x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни закрашены (нестрогое ≤). Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.
Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 2)(0 + 1) = 2 > 0 — знак «+» на (−1; 1), дальше чередование. Отрезок [1; 2] целиком вне ОДЗ, поэтому остаётся только левый луч, обрезанный слева границей ОДЗ x = −2.