условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все аргументы логарифмов положительны.
По теореме Виета для x² − 8x + 15 = 0: сумма корней должна равняться 8, произведение — 15. Подбираем x₁ = 3 и x₂ = 5, отсюда x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5). Пересечение трёх условий даёт −3 < x < 3: ветка x > 5 второго условия отсекается первым.
шаг 2.Сворачиваем правую часть
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Сводим к кубическому неравенству
Раскрываем скобки, переносим всё влево и раскладываем на множители.
Корень x = 3 подбираем среди делителей свободного члена: 27 − 45 − 6 + 24 = 0, значит (x − 3) — множитель. Деление даёт x³ − 5x² − 2x + 24 = (x − 3)(x² − 2x − 8). По теореме Виета для x² − 2x − 8 = 0: сумма корней должна равняться 2, произведение — −8. Подбираем 4 и −2, отсюда x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни закрашены (нестрогое ≤). Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.
Пробная точка x = 0: (0 − 3)(0 − 4)(0 + 2) = 24 > 0 — знак «+» на (−2; 3), дальше чередование. Отрезок [3; 4] целиком вне ОДЗ, поэтому остаётся только левый луч, обрезанный слева границей ОДЗ x = −3.