условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три аргумента логарифмов положительны. Каждое условие решаем на своей оси и пересекаем.
По теореме Виета для x² − 6x + 5 = 0: сумма корней должна равняться 6, произведение — 5. Подбираем 1 и 5, отсюда x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). Пробная точка x = 0: (0 − 1)(0 − 5) = 5 > 0 — знак «+» левее 1, чередование «+, −, +». Ветка x > 5 несовместна с x < 2, остаётся −2 < x < 1.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
(x² − 6x + 5)(x + 2) = x³ − 4x² − 7x + 10; переносим 18 − 9x вправо и получаем x³ − 4x² + 2x − 8.
шаг 3.Раскладываем кубический многочлен
Группируем по парам: из первой пары выносим x², из второй — 2, появляется общий множитель x − 4. Второй множитель x² + 2 положителен при любом x, поэтому знак произведения задаёт только x − 4.
x² + 2 ≥ 2 > 0 при любом x — на знак произведения этот множитель не влияет, корней не даёт.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Решение неравенства x < 4 пересекаем с ОДЗ −2 < x < 1: ОДЗ целиком лежит левее 4, поэтому ограничение x < 4 ничего не отсекает.
Обе границы ответа выколоты: −2 и 1 — края ОДЗ (в них аргументы логарифмов обращаются в ноль).