условие
шаг 1.Область допустимых значений
Все три аргумента логарифмов положительны; пересекаем условия.
ОДЗ
Первое условие: 2 + 2/x = (2x + 2)/x > 0 — пробная точка x = 1 даёт 4 > 0, знак «+» справа, чередование «+, −, +»: x < −1 или x > 0. Второе условие x > −3 обрезает левую ветвь, третье x > −6 новых ограничений не даёт. Итог: −3 < x < −1 или x > 0.
шаг 2.Сворачиваем левую часть
Разность логарифмов слева — логарифм частного Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
; числитель 2 + 2/x приводим к общему знаменателю. Основание 7 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы.шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Переносим всё влево, общий знаменатель x²(x + 3). Множитель x² > 0 на знак не влияет.
Множитель x² > 0 на знак не влияет (точка x = 0 исключена ОДЗ). Числитель x² − 7x − 18 = (x − 9)(x + 2) по теореме Виета: сумма 7, произведение −18.
шаг 4.Метод интервалов и ОДЗ
Нули x = −2 и x = 9 закрашены, x = −3 выколота. Пересекаем промежутки знакопостоянства с ОДЗ.
Пробная точка x = 0,5: (−8,5)(2,5)/3,5 < 0 ✓. ОДЗ оставляет [−2; −1) и (0; 9].