условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительными должны быть все три аргумента логарифмов. Трёхчлены 17x² + 16 и x² + x + 1 положительны при любом x (у второго дискриминант отрицателен, ветви вверх). Остаётся правый аргумент: приводим x/(x + 10) + 16 к одной дроби и решаем методом интервалов.
Знак дроби (17x + 160)/(x + 10) проверяем пробной точкой x = 0: (0 + 160)/(0 + 10) = 16 > 0 — плюс. На соседних интервалах знаки чередуются.
шаг 2.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю. В числителе раскрываем оба произведения и приводим подобные.
Множитель x² + x + 1 > 0 при любом x — на него делим без изменения знака. Отрицательный коэффициент −7 не выносим: на нули дроби он не влияет, а его знак учитываем на оси (пробная точка x = 1: −7·1·24/11 < 0).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Нули числителя x = −23 и x = 0 закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва x = −10 выколота. Полученное множество пересекаем с ОДЗ x < −10 или x > −160/17 — интервал (−10; −160/17] из ответа выпадает.
Луч x ≤ −23 целиком лежит в левой ветви ОДЗ x < −10. Из промежутка −10 < x ≤ 0 проходит только x > −160/17, поэтому граница слева открыта.