условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительными должны быть все три аргумента логарифмов. Трёхчлены 8x² + 7 и x² + x + 1 положительны при любом x (у второго дискриминант отрицателен, ветви вверх). Остаётся правый аргумент: приводим x/(x + 5) + 7 к одной дроби и решаем методом интервалов.
Знак дроби (8x + 35)/(x + 5) проверяем пробной точкой x = 0: (0 + 35)/(0 + 5) = 7 > 0 — плюс. На соседних интервалах знаки чередуются.
шаг 2.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Сводим к одной дроби
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю. В числителе раскрываем оба произведения и приводим подобные.
Множитель x² + x + 1 > 0 при любом x — на него делим без изменения знака. Отрицательный коэффициент −3 не выносим: на нули дроби он не влияет, а его знак учитываем на оси (пробная точка x = 1: −3·1·13/6 < 0).
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Нули числителя x = −12 и x = 0 закрашены (нестрогое ≥), точка разрыва x = −5 выколота. Полученное множество пересекаем с ОДЗ x < −5 или x > −35/8 — интервал (−5; −35/8] из ответа выпадает.
Луч x ≤ −12 целиком лежит в левой ветви ОДЗ x < −5. Из промежутка −5 < x ≤ 0 проходит только x > −35/8, поэтому граница слева открыта.