условие
шаг 1.Область допустимых значений
Трёхчлены x² + 2 и x² − x + 12 положительны при всех x. Условие даёт только третий аргумент.
ОДЗ
шаг 2.Снятие логарифма
Сворачиваем разность слева в логарифм частного Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 3 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— сравниваем аргументы.шаг 3.Сводим к рациональному неравенству
Переносим всё влево и приводим к общему знаменателю. Множитель x² − x + 12 > 0 знак не меняет.
Знаменатель x² − x + 12 > 0 при всех x (D = 1 − 48 < 0) — на знак дроби не влияет, поэтому его убираем. Множитель 2 положителен и тоже знак не меняет.
шаг 4.Метод интервалов и пересечение с ОДЗ
Корни числителя: 3/2 и 4 — закрашены (нестрогое ≥). Точка разрыва знаменателя: 0 — выколота. Решение неравенства пересекаем с ОДЗ на отдельных осях.
Пробная точка x = 1: 2(1 − 4)(1 − 3/2)/1 = 3 > 0 — знак «+» на интервале (0; 3/2), дальше чередование. ОДЗ убирает промежуток (0; 1], граница 1 выколота по ОДЗ.