условие
шаг 1.Область допустимых значений
Положительными должны быть все три аргумента логарифмов; кроме того, x ≠ 0 из-за дробей. Первый аргумент 2x + 1 > 0. Второй 1/(32x²) + 1 > 0 при любом x ≠ 0. Третий приводим к одной дроби и решаем методом интервалов.
Знак дроби (1 + 16x)/(16x) меняется в нуле числителя x = −1/16 и в точке разрыва x = 0; при x > 0 числитель и знаменатель положительны.
шаг 2.Сворачиваем левую часть и снимаем логарифм
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
и — область не меняется (нужно , для второй ).
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
шаг 3.Упрощаем и решаем
Умножаем обе части на 32x² > 0 — знак сохраняется. Справа дробь сокращается на 16x. Раскрываем скобки слева и приводим подобные.
Множитель 32x² строго положителен при x ≠ 0 (это учтено в ОДЗ), поэтому умножение на него не меняет знак неравенства. Кубический корень возрастает, поэтому из x³ ≥ −1/64 следует x ≥ −1/4.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Луч x ≥ −1/4 пересекаем с ОДЗ x < −1/16 или x > 0 (условие x > −1/2 не ограничивает, так как −1/4 правее). Из левой части остаётся [−1/4; −1/16), правая даёт (0; +∞).
Граница x = −1/4 входит в ответ (при ней 64x³ + 1 = 0, неравенство выполнено как равенство, и точка попадает в ОДЗ). Точки x = −1/16 и x = 0 выколоты по ОДЗ.