условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы логарифмов положительны. Третий аргумент при x > 0 положителен всегда: 5x² − 11x + 9 имеет отрицательный дискриминант.
ОДЗ
4x² − 1 > 0 → x > 1/2 или x < −1/2; с x > 0 остаётся x > 1/2.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Разность логарифмов слева сворачиваем в логарифм частного Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 2 > 1, функция возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем логарифм, сохраняя знак.шаг 3.Метод интервалов в x
Умножаем на x > 0 и приводим подобные. Корни x = 1 и x = 10 — закрашены (нестрогое ≥). Парабола ветвями вверх неотрицательна вне корней.
Корни x² − 11x + 10 по Виета: сумма 11, произведение 10 → 1 и 10. Решение: x ≤ 1 или x ≥ 10.
шаг 4.Пересечение с ОДЗ
Накладываем решение x ≤ 1 ∪ x ≥ 10 на ОДЗ x > 1/2.
Из x > 1/2 в решение попадает 1/2 < x ≤ 1 и x ≥ 10.