условие
шаг 1.Область допустимых значений
Аргументы обоих логарифмов положительны. Решаем каждое условие на своей оси и пересекаем.
ОДЗ
Второе условие — квадратный трёхчлен: (x − 4)(x + 4) < 0 между корнями. Пересечение x < 4 и −4 < x < 4 даёт −4 < x < 4.
шаг 2.Свёртка и снятие логарифма
Свободный член 1 записываем как log₆6, чтобы обе части были логарифмами одного основания, и сворачиваем сумму слева в логарифм произведения Преобразования логарифмов и ОДЗ
Главное правило
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Сначала выписываем ОДЗ, потом преобразуем логарифмы. Каждое тождество ниже верно только на своей области — меняя её по ходу, легко потерять или добавить решения. Сам логарифм требует .
Степень выносим с модулем
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
Тождество верно только при . При чётном показателе определено и для , поэтому обязателен модуль:
У нас . Без модуля потеряли бы ветку и корень .
Коэффициент внутрь — расширение ОДЗ
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Обратный ход при чётном расширяет область: — слева , справа . Появляются посторонние корни ; держим исходное или сразу пишем модуль.
Свернуть в один — можно
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
ОДЗ уже требует и — держим его, свёртка ничего лишнего не вносит.
Развернуть в сумму/разность — опасно
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
определён при , — при (в том числе оба множителя отрицательны). Разбивая на , силой требуем и теряем эту ветку. Корректно — только с модулями:
Смена основания — безопасно
и — область не меняется (нужно , для второй ).
и — область не меняется (нужно , для второй ).
Основное тождество
, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
. Основание 6 > 1, возрастаетЛогарифм и знак неравенства, — удобно при потенцировании и записи числа как логарифма ().
Функция монотонна при . При a > 1 возрастает, при 0 < a < 1 убывает.
Снятие логарифма (обе части — логарифмы одного основания):
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
· при a > 1: (знак сохраняется).
· при 0 < a < 1: знак переворачивается, .
Число превращаем в логарифм того же основания: — тогда сравниваем аргументы (не забывая ).
— снимаем.По теореме Виета для x² − 6x + 8 = 0: сумма корней должна равняться 6, произведение — 8. Подбираем x₁ = 2 и x₂ = 4, отсюда x² − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4). Пробная точка x = 3: (3 − 2)(3 − 4) = −1 < 0 — знак «−» в среднем интервале, чередование «+, −, +». Оба корня закрашены (нестрогое ≤): 2 ≤ x ≤ 4.
шаг 3.Пересечение с ОДЗ
Отрезок 2 ≤ x ≤ 4 пересекаем с ОДЗ −4 < x < 4.
Правый конец x = 4 вне ОДЗ — выколот по ОДЗ. Остаётся [2; 4).